La crescita esponenziale e la scacchiera

Siamo veramente consci di cosa sia una crescita esponenziale e di quanto questo concetto sia fondamentale per comprendere il mondo?

A tal proposito voglio raccontare una delle tante leggende sulla diffusione del gioco degli scacchi nell’antico Egitto. Il racconto è liberamente tratto da Natale Ramini, Come giocare e vincere a scacchi, De Vecchi Editore, Milano 1973.

Il gioco degli scacchi è uno dei più antichi del mondo, per quanto non si sappia con precisione chi l’abbia inventato. Si presume siano stati i cinesi, alcune migliaia di anni fa, o forse gli indiani. Certo è che con il progredire delle relazioni commerciali raggiunse la Persia, dove divenne ben presto popolare ed i pezzi acquistarono forme ben definite.

Quando l’ambasciatore persiano in Egitto mostrò al Faraone il gioco degli scacchi, questi lo guardò perplesso ed incuriosito. Dopo aver ascoltato con molto attenzione le regole ed effettuato una partita dimostrativa, i due si sfidarono per tutta la notte. Il Faraone, nonostante le ripetute sconfitte, imparò ad apprezzare la bellezza degli scacchi e la genialità del suo avversario.

Così, a dispetto delle numerose sconfitte, volle dimostrare al suo ospite la propria gratitudine. Invitò allora l’ambasciatore ad esprimere un desiderio e gli promise di esaudirlo.

L’interpellato rispose che voleva solo del grano: un chicco sulla prima casella della scacchiera, due chicchi sulla seconda, quattro sulla terza e così continuando e raddoppiando, fino alla sessantaquattresima casella.

Il Faraone era stupito da una richiesta a suo parere così modesta e diede subito ordine al Gran tesoriere di provvedere immediatamente.

Il funzionario trascorse oltre una settimana a fare i conti. La cifra risultava improponibile. Così andò a corte e dichiarò: “Per pagare l’ambasciatore non solo non è sufficiente il raccolto dell’intero Egitto,ma non lo è neppure quello del mondo intero, e non lo sarebbero nemmeno i raccolti dell’intero mondo nei prossimi dieci anni!”

Come era possibile??? Una richiesta a prima vista banale metteva in ginocchio l’Egitto.

Cerchiamo insieme di fare i conti con il nostro amico Faraone. Al chicco della prima caselle, dobbiamo sommare due chicchi nella seconda, i quattro della terza, gli otto della quarta, sedici nella quinta e così via. La legge del raddoppio va avanti fino alla sessantaquattresima casella, dove andranno depositati 2⁶³. Complessivamente ne abbiamo quindi:

1+2+2²+2³+2⁴+…+2⁶³ =

 =2⁰+2¹+2²+2³+2⁴+…+2⁶³  = 

  =18.446.744.073.709.551.615

Ossia ben più di diciotto miliardi di miliardi di chicchi. 

Se consideriamo che 10 chicchi pesano circa 10 grammi possiamo dire che il Faraone avrebbe dovuto consegnare all'ambasciatore persiano 1.800.000 milioni di tonnellate, ovvero la produzione mondiale di grano di ben tremila anni!

Cosa ci insegna questa piccola storia: ogni qualvolta si aumenta ripetutamente una quantità per la stessa proporzione (nel nostro caso raddoppiandola) si ha una crescita esponenziale. Il che significa che inizialmente la quantità considerata aumenta lentamente ma ben presto accelererà e in men che non si dica raggiungerà dimensioni impreviste.

Questo accade anche quando aumentiamo la quantità soltanto dell’uno per cento.

1; 1,01; 1,0201; 1,0303; 1,0406; 1,05101;…

Poiché tutte le misure di crescita economiche, finanziarie e politiche (vendite, profitti, azioni, PIL, popolazione, interressi, inflazione ecc.) sono calcolate come variazione percentuale per unità di tempo, la crescita esponenziale è fondamentale per capire il mondo.

Invito tutti a guardare il video del professore Albert Bartlett (che ci ha lasciato nel 2013) per meglio comprendere la crescita esponenziale. 

Può essere molto utile per comprendere quanto crescono i nostri debiti quando chiediamo un prestito al netto dell’inflazione.